Función de distribución

Función de distribución 

  En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoria  x tome exactamente un determinado valor x_i, sino conocer la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor x_i. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución

 Sea x una variable aleatoria. La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):

F(t) = P (x ≤ t)

  Esta función se llama función de distribución.

  Si x_i es creciente con i y suponemos que t está comprendido entre dos de estos valores valores:

x_h-1 < t ≤ x_h

la condición:  x ≤ t      Þ      x = x₁       ó     x = x₂ ................x = x_h

_ß

P (x ≤ t) = P (x₁) + P (x₂) + .......... + P (x_h)

 Luego la función de distribución F(t) es la suma de las probabilidades de todos los sucesos x = x_i     tales que   x_i ≤ t    

Ejemplo.  En el ejemplo anterior del lanzamiento de una moneda, la función F(t) toma los siguientes valores:

Para      0 < t ≤ 1	F(t) = 1/2
Para      1 < t ≤ 2	F(t) = 1/2 + !/4 = 3/4 = 1 - 1/22
Para      2 < t ≤ 3	F(t) = 1/2 + !/4 + 1/8 = 7/8 = 1 - 1/23
Para     n-1 < t ≤ n	F(t) = 1 - 1/2n

  Vemos que F(t) es una función escalonada, creciente y si t ® ¥

  Lo que hemos visto se puede generalizar al caso en que la función de distribución es una función continua.

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